.
Trigonométrie rectangle
Exercice n°2.(correction)
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et 
=30° . Calculer BC et AB
Exercice n°4.Exercice n°5.(correction)
Une tour est protégée par un large fossé. En se situant en A, l’angle 
vaut 42°.
En reculant de 10 mètres ( AB = 10) et en se positionnant en B, l’angle 
vaut 27°. Les triangles AMN et BMN sont rectangles en M.
1) En exprimant MN en fonction de AM de deux façons différentes (utiliser le fait que BM=BA+AM), calculer la longueur AM
2) En déduire la hauteur de la tour (on donnera une valeur exacte, puis valeur approchée à un centimètre près.)
CORRECTION
Trigonométrie rectangle
Exercice n°2.(correction)
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et =30° . Calculer BC et AB
Exercice n°4.Exercice n°5.(correction)
Dans un triangle rectangle, 
, 
et 
.
Ainsi
|
|
|
|
|
|
|
|
Dans le triangle ABC, rectangle en A, on peut écrire 
, d’où :
.
De plus 
d’où AC=BCsin30°=2
x
=
1) Dans le triangle AMN, rectangle en M, on écrit 
Dans le triangle MMN, rectangle en M, on écrit 
En utilisant le fait que BM=BA+AM, on écrit :
MN=BMtan(27°)=(10+AM)tan27°=10tan(27°)+AMtan27°
Si par ailleurs MN=AMtan(42°) , on aura donc AMtan(42°)=10tan(27°)+AMtan(27°) , c’est-à-dire
AM(tan(42°)-tan(27°))=10tan(27°) donc 
2) On conclut donc que 
La calculatrice fournit MN 11,75 m |
 |
Une tour est protégée par un large fossé. En se situant en A, l’angle vaut 42°.
En reculant de 10 mètres ( AB = 10) et en se positionnant en B, l’angle vaut 27°. Les triangles AMN et BMN sont rectangles en M.
1) En exprimant MN en fonction de AM de deux façons différentes (utiliser le fait que BM=BA+AM), calculer la longueur AM
2) En déduire la hauteur de la tour (on donnera une valeur exacte, puis valeur approchée à un centimètre près.)
EXERCICES
Le radian
Exercice n°7.(correction)
Exprimer, en fonction de R, le périmètre de la figure :
|
Exercice n°9.(correction) Donner une mesure en radians de l'angle formé par la petite aiguille et la grande aiguille d'une montre (plusieurs réponses sont possibles)
Soir (C) un cercle de centre A et B un point de (C) 1) Construire les points C,D,E et F du cercle (C) tels que :
2) Déterminer une mesure puis la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :
Exercice n°12. Exercice n°13.(correction) 1) Sachant que 2) Tout le monde sait bien que Exercice n°15.(correction) 1) Déterminer la mesure de l’angle x vérifiant : sin(x)= 2) Sachant que 3) Déterminer une valeur exacte de x sachant que sinx= 4) Déterminer une valeur approchée à 10-2 près en radians de a sachant que cos a=-0,25 et a |
)=
, et sans utiliser de calculatrice, donner une valeur exacte de cos x et de tan x
(on ne cherchera pas à démontrer ce résultat !). Calculer sin
(on ne cherchera pas à démontrer ce résultat !), déterminer 
et cosx=-
EXERCICES
Le radian
Exercice n°7.(correction)
Exprimer, en fonction de R, le périmètre de la figure :
|
Exercice n°9.(correction) Donner une mesure en radians de l'angle formé par la petite aiguille et la grande aiguille d'une montre (plusieurs réponses sont possibles)
Soir (C) un cercle de centre A et B un point de (C) 1) Construire les points C,D,E et F du cercle (C) tels que :
2) Déterminer une mesure puis la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :
Exercice n°12. Exercice n°13.(correction) 1) Sachant que 2) Tout le monde sait bien que Exercice n°15.(correction) 1) Déterminer la mesure de l’angle x vérifiant : sin(x)= 2) Sachant que 3) Déterminer une valeur exacte de x sachant que sinx= 4) Déterminer une valeur approchée à 10-2 près en radians de a sachant que cos a=-0,25 et a |
CORRECTION
Exercice n°6
On applique la formule 
|
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
rad150°
rad100°
rad25°On applique la formule 
|
6) 45° |
7) 120° |
8) 30° |
9) |
10) |
rad
Un angle au centre de 
rad intercepte, sur un cercle de rayon R, un arc de mesure égale à L=Rx
L’arc de cercle intercepté mesure donc 2R unités de longueur. Le périmètre de la figure vaut donc 2R+R+R=4R unités de longueur
Un angle au centre de rad intercepte, sur un cercle de rayon R, un arc de mesure égale à L=Rx
1) Dans le premier cas (R=150, R’=50 et =1 rad ), le trajet 1 a pour longueur T1=150x1=150 unités de longeur, tandis que le trajet 2 a pour longueur T2=AA'+50x1+BB'=250 unités de longeur donc T12
2) Dans le deuxième cas (R=300, R’=250 et =3 rad ), le trajet 1 a pour longueur T2=300x3=900 unités de longeur, tandis que le trajet 2 a pour longueur T2=AA'+250x3+BB'=850 unités de longeur donc T21
3) Les deux trajets seront de la même longueur si et seulement si :
(On remarque que cela ne dépend ni de R ni de R’)
Le trajet 2 sera plus grand que le trajet 1 si et seulement si
Lignes trigonométriques
1) Puisque 
, on peut écrire que 
2) Puisque 
, on peut écrire que 
3) Attention à la division par 3 :
Si 
alors 
Pour k = 0, on obtient x0=-
(point P0)
Pour k = 1 on obtient 
(point P1)
Pour k = 2 on obtient 
(point P2)
Pour k = 3on obtient 
. On retombe sur le point P0
De même, pour k = -1 on obtient 
. On retombe sur le point P2
1) (Au départ, le point B peut être choisi n’importe où sur le cercle)
2) Par application de la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs :
|
|
|
|
|
|
1) Si le triangle AEF est triangle équilatéral direct, alors AE=AF et (
,
)= 
(2
)
Si le triangle ABC est isocèle rectangle direct en A, alors AB=AC et (
,
)=
(2)
2) Par application de la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs, et de la propriété 
, on détermine :
|
|
|
|
|
|
Exercice n°16.(correction)
1) Simplifier au maximum, pour tout réel t, l’expression (1-cos t)(1+cos t)
2) Démontrez que pour tout nombre réel x , : cos4x-sin4x=cos2x-sin2x puis que cos4x-sin4x=2cos2x-1
Exercice n°18.(correction)
Résoudre dans 
les équations et inéquations suivantes :
cos(x)= |
sin(3x)= |
cos(3x+ |
cos(2x)=sin(3x) |
cos(x) |
sin(3x)> |
p et q, on a : 
3) En déduire les solutions de l'équation cos x + cos2x + cos3x=0
Trigonométrie et fonctions
f(x)=0 . Donnez-en des valeurs approchées à 0,1 près
Exercice n°23.(correction)
Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en 
et en 
de chacune des fonctions f suivantes (si elles existent):
1)  |
2)  |
 |
1) En comparant ces aires, prouver que : sin x 
x tan x.
2) En déduire que cos x < 
< 1.
3) Déterminer la limite de en 0 (étudier les cas x < 0 et x > 0)
équation 
On en déduit que l’inéquation cos(x) a pour solutions : 
sin(3x)>
L’équation sin(3x)==sin() ayant pour solutions :
, (Ne surtout pas oublier de diviser également 2k,k
par 3 !) ,
on en déduit que l’inéquation sin(3x)> a pour solutions : 
1) Puisque cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) et cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) , en additionnant les deux lignes, on obtient
cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b) , c’est-à-dire 
2) Si on pose p=a+b et q=a-b , on aura, par demi-somme et demi-différence, 
et 
, de sorte qu’en remplaçant dans l’écriture :
, on obtiendra 
,
c’est-à-dire l’égalité souhaitée
3) En appliquant la formule aux deux termes extrêmes du membre de gauche de l’équation, on obtient :
L’équation cos x + cos2x + cos3x=0 devient alors équivalente à
cos 2x + 2cos(2x)cos(x)=0cos (2x)[1+2cos(x)]=0
cos (2x)=0 ou 1+2cos(x)=0
La première équation cos (2x)=0 est équivalente à 
La deuxième équation cos(x)=- est équivalente à 
Trigonométrie et fonctions
1) f est définie et dérivable sur en tant que fonction polynôme et pour tout x ,
f ' (x)=-12x2+3=3(1-4x2)=3(1-2x)(1+2x)
On en déduit le signe de f ' (x) et le tableau de variation de f :
(pour les limites : 
et 
2) L’équation sin3a==sin() est équivalente à 
Les solutions appartenant à l’intervalle [0;2] sont obtenues pour k=0,1,2 et l=0,1,2 .
Leurs valeurs rangées dans l’ordre croissant sont 
3) Pour tout nombre réel a, sin3a=sin(a+2a)=sin(a)cos(2a)+sin(2a)cos(a)
Puisque par ailleurs cos(2a)=2cos2a-1=1-2sin2a et puisque sin(2a)=2sinacosa , on obtient :
4) L’équation f(x)=0 s’écrivant -4x3+3x-=0 , on pose x=sin(a) , et l’équation devient -4(sina)3+3sina-=0 ,
c’est-à-dire, compte tenu de la question 3), sin3a=
Or la question 2) nous fournit les valeurs de a solutions : a{
;
;
;
;
}
Puisque x=sin(a) , il reste à « extraire » les trois valeurs différentes de sinus.
En effet, les réels et ont même sinus, puisque 
, et puisque pour tout , sin()=sin(-) .
De même, les réels et ont même sinus, ainsi que les réels et .
Les solutions de l’équation f(x)=0 sont donc x{sin();sin();sin()}
La calculatrice fournit x0,17, x0,77 et x-0,94 à 0,01 près
Fonctions trigonométriques
1) On calcule f(0)=sin(2x0)=sin(0)=0 , f()=sin(2x)=sin()=
, f(
)=sin(2x)=sin()=
f()=sin(2x)=sin()=-1 , f(
)=sin(2x)=sin(
)=
, f()=sin(2x)=sin(2)=0
2) est symétrique par rapport à 0, et pour tout x , 
, ce qui prouve que f est impaire.
Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’origine O du repère 
3) Pour tout x réel, on calcule 
. f est donc périodique de période .
Il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude , par exemple [-;
]
4) Pour tout nombres réels a et b de l’intervalle [-;] avec -a<b , on a -2ab , et puisque la fonction sinus est strictement croissante sur [-;] , on aboutira à sin(-)sin(2a)b)sin() , c’est-à-dire à -1f(a)<f(b)1 .
La fonction f est donc strictement croissante sur [-;]
Pour tout nombres réels a et b de l’intervalle [;] avec a<b , on a 2ab
, et puisque la fonction sinus est strictement décroissante sur [;] , on aboutira à sin()sin(2a)b)sin() , c’est-à-dire à 1f(a)<f(b)-1 .
La fonction f est donc strictement décroissante sur [;] .
5) Représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle 
:
1) Pour tout x réel -1sinx1x-1x+sinxx+1x-1f(x)x+1
2) Puisque 
x-1=., on conclut, en utilisant le théorème de minoration, que f(x)= .
Puisque 
x +1 =, on conclut, en utilisant le théorème de minoration, que f(x)=.
1) Puisque pour tout réel x, on a -1cosx1, alors pour tout x>0, on a 1-11+cosx1+101+cosx2, et par division par 
qui est >0, on déduit que :
.
Puisque 
, en application du théorème d’encadrement « des gendarmes », on a f(x)=0
2) Commençons par la limite lorsque x->. On peut donc supposer que x>0.
Puisque pour tout réel x, on a -1 sin x 1, alors pour tout x>0, on a 
Puisque 
, et puisque 
, en application du théorème d’encadrement dit « des gendarmes »,
on conclut que 
La limite lorsque x-> se traite à l’identique : on peut donc supposer que x
Puisque pour tout réel x, on a -1 sin x 1, alors pour tout x (l’inégalité est en sens inverse de la précédente)
Puisque 
, et puisque 
, en application du théorème d’encadrement dit « des gendarmes »,
on conclut que f(x)=0
On calcule : 
, puis par proportionnalité de l’aire et de la mesure du secteur angulaire, 
(car un angle de 
rad correspond à une aire de 
, donc un angle de x rad correspond à une aire de 
).
Enfin 
.En multipliant les trois membres de l’inégalité par 2, on obtient le résultat attendu.
2) En utilisant les deux premiers termes de l’inégalité, on a sinx<xx>0)
En utilisant les deux derniers termes de l’inégalité, on a 
(car x>0)
3) Puisque pour tout x>0 , cos x < < 1, et puisque 
cosx=1, on en conclut en application du théorème d’encadrement dit « des gendarmes », que 
4) si x, 
et 
On a donc, pour x.
En utilisant les deux premiers termes de l’inégalité, on a 
(car -x>0)
En utilisant les deux derniers termes de l’inégalité :
on a 
(car -x>0).
La conclusion de l’exercice reste la même
1) On écrit, pour tout x>0 , 
.
En posant u=5x, on a u=0, et puisque 
, on en déduit donc que 
, donc par produit 
2) On écrit, pour tout x>0 , 
.
Puisque 
, on a aussi 
, donc en particulier 
(quitte à poser u=3x), d’où, par produit, 
3) On écrit, pour tout x>0 , 
.
Encore une fois, puisque 
et 
, on conclut, par produit, que 
4) On écrit, pour tout x>0 , 
.
Puisque et puisque cos x =1 donc 
, on conclut que 
CORRECTION
Exercice n°26
1) f(x) = xcosx-2sinx
f est définie et dérivable sur en tant que somme et produits de fonctions qui le sont.
Pour tout x 
donc f ' (x) = -cosx-xsinx
2) 
f est définie et dérivable sur 
en tant que quotient de fonctions qui le sont, et dont le dénominateur ne s’annule pas sur.
Pour tout x 
donc 
3) 
f est définie et dérivable sur 
en tant que quotient de fonctions qui le sont, et dont ledénominateur ne s’annule pas sur
Pour tout ,
4) f(x) = cos3x-sin2x
f est définie et dérivable sur en tant que somme et produits de fonctions qui le sont.
Pour tout x 
donc f ' (x) = -3sin(3x)-2cos(2x)
1) Si on pose f(x) = sin x, définie sur , puisque f(0)=sin0=0, la limite 
se réécrit 
.
Or f est dérivable sur et pour tout x, f ' (x) = cos x donc = = f ' (0)=cos0=1 .
Ainsi = 1
2) Si on pose f(x) = cos x, définie sur , puisque f() = cos()=0, la limite 
se réécrit 
.
Or f est dérivable sur et pour tout x, f ' (x) = -sin x donc 
=
=
.
Ainsi 
= -1.
Sur I= , on calcule f'(x)=-3sin3x , puis f(2)(x)=-32cos3x , puis f(3)(x)=33sin3x et enfin f(4)(x)=34cos3x , ce qui nous permet de conclure, de manière « cyclique » que :
|
Si n=4m , f(n)(x)=3ncos3x |
Si n=4m+1 , f(n)(x)=-3nsin3x |
| Si n=4m+2 , f(n)(x)=-3ncos3x | Si n=4m+3 , f(n)(x)=3nsin3x |
1) La fonction f définie par f(x)=sinx-2cosx est continue sur en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il existe une primitivedéfinie sur par :
F(x)= -cos x-2sin x
2) f(x)=sinxcosx.
f est définie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout x, f(x)=cosxsinx, donc de la formef(x)=u'(x)u(x), où u(x)=sin x=>u'(x)=cos x.
Ainsi une primitive sur de f est définie par 
3) 
f est définie et continue sur \{k
, k} en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas,
et pour x appartenant à l’un des intervalles ]k;(k+1)[, f étant de la forme 
, où u(x)=sin x=>u'(x)=cos x,
elle admet une primitive sur chaque intervalle]k;(k+1)[ définie par :
4) 
f est définie et continue sur 
en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas,
et pour x appartenant à l’un des intervalles 
, f étant de la forme 
,
où u(x)=cos x=>u'(x)= -sin x, elle admet une primitive sur chaque intervalle définie par
5) 
f est définie et continue sur en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas, et pour x,
f étant de la forme 
, où u(x)=2+sin x=>u'(x)=cos x, elle admet une primitive sur définie par :
6) 
.
f est définie et continue sur 
en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas, donc admet desprimitives sur , et pour tout x, puisque 
, ou u(x)=sinx=>u'(x)=cosx,
, puisque x=>sinx>0.
7) f(x)=tanx.
f définie est continue sur 
en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas, donc admet desprimitives sur , et pour tout x , puisque 
, ou u(x)=cosx=>u'(x)=-sinx,
, puisque x=>cosx
1) On calcule 
où u(x)=sinx.
Ainsi 
. L’affirmation est donc VRAIE
3) On peut déjà écrire que 
.
Comme la fonction 
est PAIRE sur [-;], (puisque 
), on a donc 
.
L’égalité proposée est donc FAUSSE
Pour tout x[0;1], sinx0 et x2x, donc x2sinxxsinx
On « passe aux intégrales » dans l’inégalité. Ainsi 
1) 
où u(x)= x =>u'(x)= 1 et v'(x)= sinx =>v(x)= -cosx sont continûment dérivables.
D’après la formule d’intégration par parties,
2) 
où u(x)= x2 =>u'(x)= 2x et v'(x)= sinx =>v(x)= -cosx sont continûment dérivables.
D’après la formule d’intégration par parties,
On calcule l’intégrale 
en effectuant une deuxième intégration par parties :
où u(x)=2x=>u'(x)= 2 et v'(x)= cosx =>v(x)= sinx sont continûment dérivables.
D’après la formule d’intégration par parties,
.
Finalement, I=-2
3) 
où u(x)= 
=>u'(x)= et v'(x)= sin x =>v(x)= -cos x sont continûment dérivables.
D’après la formule d’intégration par parties,
On calcule 
en effectuant une deuxième intégration par parties :
u(x)= =>u'(x)= et v'(x)= cos x =>v(x)= sin x sont continûment dérivables.
D’après la formule d’intégration par parties,
On aboutit donc à l’équation 
c’est-à-dire 
et on conclut ainsi que 
4) 
où 
et v'(x)= cos x =>v(x)= sin x sont continûment dérivables.
D’après la formule d’intégration par parties,
On calcule 
en effectuant une deuxième intégration par parties :
où 
et v'(x)= sin x =>v(x)= -cos x sont continûment dérivables.
D’après la formule d’intégration par parties,
On aboutit donc à l’équation 
c’est-à-dire 
et on conclut ainsi que 